Hubungan Antara Titik, Garis, Dan Bidang

Bagian pembentuk bangkit ruang yaitu titik, garis dan bidang. Ketiga belahan ini disebut unsur-unsur ruang. Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak mempunyai definisi (undefined terms), antara lain, titik, garis, dan bidang. Meskipun ketiga istilah tersebut tidak secara formal didefinisikan, sangat penting disepakati ihwal arti istilah tersebut.

Sebuah titik hanya sanggup ditentukan letaknya, tetapi tidak mempunyai panjang dan lebar (tidak mempunyai ukuran/besaran). Titik sanggup digambarkan dengan menggunakan tanda noktah. Sebuah titik dinotasikan atau diberi nama dengan karakter kapital, misalkan titik A, titik B, titik C, dan sebagainya.

Adapun garis direpresentasikan oleh suatu garis lurus dengan dua tanda panah di setiap ujungnya yang mengindikasikan bahwa garis tersebut panjangnya tak terbatas. Sebuah garis sanggup dinotasikan dengan karakter kecil, misalkan garis k, garis l, garis m, garis n, dan sebagainya. Bidang datar merupakan suatu tempat yang panjang dan lebarnya tak terbatas.

A. Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang
1. Hubungan Titik dan Garis
Hubungan antara titik dan garis sanggup terjadi dalam dua kondisi. Pertama, titik terletak pada garis dan kedua, titik terletak di luar garis. Titik disebut terletak pada garis apabila titik tersebut ada pada garis, atau titik tersebut menjadi belahan dari garis.

2. Hubungan Antara Titik dan Bidang
Keadaan di atas berlaku pula untuk korelasi titik dengan bidang. Titik terletak pada bidang atau titik tersebut menjadi belahan bidang.

3. Hubungan Antara Garis dan Bidang
Hubungan antara garis dan bidang sanggup diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu garis terletak pada bidang, garis tidak pada bidang, dan garis memotong/menembus bidang.

Garis Terletak Pada Bidang
Garis terletak pada bidang apabila garis menjadi belahan dari bidang. Letak garis l pada bidang (gambar i) membagi titik-titik pada bidang menjadi dua belahan bidang. Garis terletak pada bidang apabila garis menjadi belahan dari bidang. Letak garis l pada bidang (gambar i) membagi titik-titik pada bidang menjadi dua belahan bidang.

Garis Menembus atau Memotong Bidang
Sebuah garis dikatakan menembus (memotong) bidang, jikalau garis dan bidang itu hanya mempunyai satu titik tembus (titik potong).

4. Titik-titik segaris
Dua titik atau lebih dikatakan segaris jikalau titik-titik tersebut terletak pada garis yang sama. Sedangkan istilah titik-titik segaris sanggup disebut kolinear.

5. Titik-titik sebidang
Dua titik atau lebih dikatakan sebidang jikalau titik-titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Titik C dan titik D dikatakan sebidang, alasannya yaitu sama-sama terletak pada bidang β. Sedangkan istilah titik-titik sebidang sanggup disebut koplanar

Terdapat tiga pemahaman yang berkaitan dengan garis, segmen garis (ruas garis), dan sinar garis (sinar). Ruas Garis yaitu sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara ujung-ujungnya. Contoh ruas garis contohnya sisi segitiga atau sisi persegi. Ketika titik-titik ujung terletak pada sebuah kurva, contohnya lingkaran, maka ruas garis itu disebut tali busur (kurva tersebut).

Sinar Garis yaitu sebuah garis yang mempunyai satu titik ujung dan ujung yang lain membentang tak terbatas. Secara geometri, ketiga pemahaman tersebut kita deskripsikan sebagai berikut.

1. Garis yang melalui titik A dan B disebut garis AB, dinotasikan. Tanda panah pada kedua ujung artinya sanggup diperpanjang hingga tak terbatas.
2. Ruas garis (segmen) AB, disimbolkan, dengan titik A dan B merupakan titik ujung ruas garis AB.merupakan belahan dari .
3. Sinar garis AB, disimbolkan, mempunyai titik pangkal A, tetapi tidak mempunyai titik ujung. Sinar garis.merupakan belahan dari garis .
4. Jika titik C terdapat di antara titik A dan B, makadan merupakan dua sinar yang berlawanan

B. Kedudukan Dua Garis
Kedudukan dua garis baik dua garis sejajar, dua garis saling berpotongan, dua garis saling berhimpit
pada bidang. Materi ini akan bermanfaat dalam mempelajari bahan segi empat dan segitiga pada belahan selanjutnya.

1. Garis a dan b merupakan dua garis yang tidak sejajar dan berpotongan.
2. Garis c dan d merupakan dua garis yang tidak sejajar dan berpotongan
3. Garis e dan f merupakan dua garis yang sejajar
4. Garis g dan h merupakan dua garis yang sejajar
5. Garis i dan j merupakan dua garis yang berhimpit 
6. Garis k dan l merupakan dua garis yang berhimpit 
7. Garis m dan n merupakan dua garis yang berpotongan Garis m dan n merupakan dua garis yang berpotongan
8. Garis o dan p merupakan dua garis yang berpotongan
9. Garis q dan r merupakan dua garis yang berpotongan tegak lurus

Ayo Kita Menalar
Setelah kalian mendapat gosip di atas, coba terapkan pada pertanyaan berikut:

1. Jika dua garis berpotongan menghasilkan satu titik, maka apakah yang dihasilkan dua garis saling berhimpit? Jika yang dihasilkan yaitu titik, berapa titik yang dihasilkan?  Jika ada dua garis yang saling berhimpit, maka titik yang dihasilkan aneka macam atau titik-titiknya tak terbatas
2. Menurut kalian, dapatkah sebuah garis merupakan hasil dari suatu perpotongan? Hasil suatu perpotongan apakah itu? Coba jelaskan. Iya, sanggup terbentuk sebuah garis yaitu perpotongan antar dua bidang.
3. Jika dua garis berpotongan menghasilkan maksimal satu titik potong, maka berapa titik potong maksimal yang dihasilkan oleh 5 garis yang saling berpotongan? Jelaskan.

Dan seterusnya didapat contoh sebagai berikut
2 ⇒ 1
3 ⇒ 3
4 ⇒ 6
5 ⇒ 10
6 ⇒ 15

n ⇒	1	(n) - (n -1)
	2

Jadi, banyak titik maksimal yang dihasilkan oleh 5 garis yang berpotongan yaitu sebanyak 10 titik potong.

Ayo Kita Berlatih
1. Bagaimana keberadaan titik dengan garis, titik dengan bidang, dan garis dengan bidang? Jelaskan.

• Hubungan antara titik dan garis sanggup terjadi dalam dua kondisi. Pertama, titik terletak pada garis dan kedua, titik terletak di luar garis.
• Hubungan antara titik dan bidang antara lain titik terletak pada bidang atau titik tersebut menjadi belahan bidang.
• Hubungan antara garis dan bidang sanggup diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu garis terletak pada bidang, garis tidak pada bidang, dan garis memotong/menembus bidang.

2. Sebuah garis dan bidang tidak terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan, maka irisan keduanya menghasilkan himpunan kosong

3. Terdapat dua bidang saling berpotongan dan tidak berhimpitan, maka perpotongannya berbentuk,

Dua bidang dikatakan berpotongan, jikalau kedua bidang tersebut mempunyai sebuah garis persekutuan

4. Perhatikan gambar berikut

• Diketahui Gambar (a) yaitu garis AB. Jelaskan apakah titk C terletak pada garis AB?Iya, alasannya yaitu titk C merupakan belahan dari garis AB.
• Diketahui Gambar (b) yaitu segmen garis PQ. Jelaskan apakah titk R terletak pada segmen garis PQ? Jelaskan juga apakah titk S terletak pada segmen garis PQ? Titik R tidak terletak pada garis AB, alasannya yaitu titk R tidak berada dibagian garis PQ. Sedangkan titik S terletak pada garis PQ alasannya yaitu lantaran titk S merupakan belahan dari garis PQ.
• Diketahui Gambar (c) yaitu sinar garis KL. Jelaskan apakah titk M dan P terletak pada sinar garis KL? Jelaskan juga apakah titk N dan O terletak pada sinar garis KL?  Titik M tidak terletak pada sinar garis KL, alasannya yaitu titk R tidak berada dibagian sinar garis KL. Sedangkan titik N dan O terletak pada sinar garis KL alasannya yaitu lantaran kedua titk tersebut merupakan belahan dari sinar garis KL. Khusus untuk titik P tetap dikatakan terletak pada sinar garis KL, KL merupakan sinar garis yang artinya sinar garis KL masih berlanjut hingga takhingga.

5. Bagaimana berdasarkan pendapat kalian apakah boleh kita mengatakan

• Garis yaitu kumpulan titik-titik ? Sebuah garis intinya hanyalah kumpulan dari titik titik. Kalian sanggup mendapat garis dengan menggambar titik titik sedemikian sehingga saling berdekatan dan alhasil menghasilkan sebuah garis.
• Bidang yaitu kumpulan titik-titik ? Benar. Bidang yaitu kumpulan garis-garis dimana garis merupakan kumpulan titik.
• Bidang yaitu kumpulan garis-garis ? Bidang yaitu himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis.
• Ruang yaitu kumpulan garis-garis ? Benar. Kumpulan bidang-bidang menjadi ruang dimana bidang yaitu kumpulan garis-garis dan garis yaitu kumpulan titik-titik.

6. Pernyataan yang salah dari pendapat berikut yaitu . . .

• Dua garis sejajar tidak mempunyai titik potong (benar)
• Garis l sejajar bidang α apabila garis-garis yang terletak pada bidang α tidak berpotongan dengan garis l
• Garis l tegak lurus bidang α apabila garis l tegak lurus garis-garis yang terletak pada bidang α

7. Perhatikan gambar berikut

Banyak ruas garis berbeda dari gambar di atas yaitu 3

8. Perhatikan gambar berikut

Sebutkan Pasangan garis mana sajakah yang saling sejajar, berpotongan, atau bersilangan?
a. Garis-garis sejajar; garis xy dengan wz
b. Garis-garis berpotongan; garis mv dengan xy dan wz, garis nv dengan xy dan wz, garis mv dengan nv

9. Gambarlah limas segiempat ABCD.T

• Sebutkan semua ruas garis yang saling sejajar. AB dan CD, AD dan BC.
• Sebutkan semua ruas garis yang saling berpotongan TB dan AB, TC dan BC, TD dan CD, TA dan DA
• Adakah dua garis yang saling tegak lurus? Jelaskan. Tidak ada
• Adakah dua garis yang saling bersilangan? Jelaskan. Tidak ada

10. Perhatikan gambar berikut

• Sebutkanlah garis-garis yang sejajar .Garis yang saling sejajar; garis p dengan m dan garis s dengan q
• Sebutkanlah garis-garis yang perpotongan. Garis yang saling berpotongan; garis p dengan s, r dan q, garis n dengan m, q, r, s dan p, garis m dengan m, q, r, dan s

11. Perhatikan gambar berikut

Tulislah semua pasangan garis yang saling sejajar. AB dan DE, AD dan BE, BE dan CF, CF dan AD.

12. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut.

Gambar segitiga ABC di atas terdiri dari 4 buah segitiga yang sama dan sebangun. Tentukanlah ruas garis yang sejajar dengan:

• AB sejajar DF
• DF sejajar dengan ruas garis AE, EB, atau AB
• DE sejajar dengan ruas garis CF, FB dan BC

13. Perhatikan balok ABCD.EFGH berikut

Diketahui titik P berada di tengah-tengah AB , titik Q di tengah-tengah BC , dan titik R di tengah-tengah PQ. Hubungkan titik H dengan titik R. Jika HR diperpanjang, maka apakah akan memotong perpanjangan FB ? Jelaskan dan tunjukkan.

14. Perhatikan gambar limas segiempat ABCD.T berikut.

Tentukanlah:

• pasangan garis yang sejajar. Saling sejajar yaitu garis AB dengan CD dan garis AD dengan BC
• pasangan garis yang berpotongan  garis AB dengan AD, AC, AT, BC, BD, AT, dan BT garis CD dengan CB, CA, DA, DB, DT, dan CT garis AC dengan BD, dan MT garis MT dengan AC, BD, AT, BT, CT, dan DT
• garis-garis yang horisontal garis AB, DC, AD, dan BC
• garis yang vertikal garis MT